含有绝对值不等式的解法

　学法导引

　　本节是在绝对值的概念和简单性质的基础上，介绍含有绝对值的不等式的性质定理和它的推论．无论是定理的证明，还是它的应用，关键是熟练掌握绝对值的概念和性质．学习本节知识时，应对定理和它的推论的结构形式和本质特征有充分的理解，要善于总结、归纳解含有绝对值不等式的常用方法和技巧，进一步培养自己的逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力．

　　知识要点精讲

　　绝对值的几何意义

　　设数轴上的点P、A表示的实数分别为x和a，则|x－a|表示点P与点A之间的距离，即|PA|＝|x－a|．

　　绝对值的运算性质

　　含有绝对值的不等式的性质

　　定理：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|．

　　推论1：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|．

　　注：定理和推论1本质上没有区别，因为a－b可以理解为a＋(－b)．所以定理比推论1显得更为重要．实际应用时，还可以加强为||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|．

　　思维整合

　　【重点】本节的重点是含有绝对值的不等式的性质定理及其推论的证明和应用．由于不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|可联系平面向量的模的性质来理解为三角形中三边的不等关系，所以通常可称之为“三角形不等式”．我们也可根据这一特征来理解和运用它来解决实际问题．

　　【难点】本节的难点之一是|a＋b|≤|a|＋|b|的证明．除了教材中所介绍的证明方法外，本节的又一难点是|a＋b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件是什么．从上述两种证明方法中易知“＝”成立的充要条件是a·b≥0．

　　【易错点】对定理和推论中的不等号认识不清，以及未能正确理解其中等号成立的条件．

　　能力升级平台

　　【综合能力升级】

　　本节知识常和函数、方程相结合综合出题，考查函数的性质和方程的根的特征是热点问题，解决此类问题应充分利用函数、方程和不等式中的有关概念、性质，综合运用所学知识和方法来分析和求解．

　　高考热点点拨

　　含绝对值不等式的解法和证明已成为近年高考中的热点．经常考查的是绝对值的概念、几何意义以及含绝对值不等式的性质．题型既有选择题，也有解答题．由于实数集中的三角形不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|与平面向量中的三角形不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，从形式到本质上，几乎完全类似，所以对此性质的考查将成为新的趋势和热点．