高中数学轨迹问题说课稿

大家好！今天我讲的热点问题是轨迹问题。 一、轨迹问题在教材中的地位和作用二、轨迹问题的高考命题走向三、轨迹问题的大纲要求及应试策略四、求轨迹方程的基本方法求轨迹方程的基本方法有：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法、向量法等。（一）、直接法：直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧。例1 ：已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 ( >0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。说课：这个例题用直接法解，寻找动点所满足的条件：|MN|= |MQ|，然后再利用有关公式将条件用坐标表示出来，进而求出轨迹方程。      例1在书本上的原型是（试验修订本 数学第二册（上）P100例4，P112例3）：点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线L：x= 的距离的比是常数 （a＞c＞0）（或c＞a＞0），求点M的轨迹。这是椭圆和双曲线的第二定义， 经变化，即化为例1。而例1 再经变化又可得：课本原题2（试验修订本 数学第二册（上）P85小结与复习例2）：求证到圆心距离为a（a＞0）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。（图1）将这个课本例题进一步扩展，就得到：2005年高考·江苏卷19题变式：（2005年高考·江苏卷）如图2，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1与圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM= PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。    从这些变式我们可看到；数学教材始终是高考数学命题的源头活水，高考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、习题出发，采取科学的组合、加工、扩展或赋予新的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。因此，在复习过程中，用好教材是复习的关键，复习时对教材进行深加工，在每一堂复习课中，尽量引入一些课本典型例题、习题，从解题思路，解题方法，解题规律等方面作一些探索，并做一些变式研究，使之与高考试题接近。（二）、相关点法（代入法）说课：相关点法也称“代入法”，如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q又按某个规律运动，则可先用x，y表示a，b，再把a，b代入它满足的条件便得到动点P的轨迹方程。例2：M是抛物线y2=x上一动点，O为原点，以OM为一边作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程。分析：动点P的位置，依赖于抛物线上的点M，故可考虑用相关点法求P的轨迹方程。相关点法在课本的习题中有较多的体现，如：1、（试验修订本 数学第二册（上）P95例3）：2、（试验修订本 数学第二册（上）P96，习题8.1 T6）：3、（试验修订本 数学第二册（上）P119习题8.5   T6）：4、（试验修订本 数学第二册（上）P133、复习参考八  T15）：等，高考题中，如变式：（2002上海高考试题）一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。（三）、定义法：说课：定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.如例题3中，点P的轨迹符合椭圆的定义，用椭圆定义直接探求又如2005年高考山东卷22题动圆圆心的轨迹符合抛物线的定义，用抛物线定义直接探求定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。（四）、参数法：说课：如果动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。例4  在平面直角坐标系xoy中，抛物线y = x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B，满足         = 0，求△AOB的重心G的轨迹方程。解法一：以OA的斜率k为参数解法二：以A、B的坐标为参数，这是多参问题，消去A点坐标(x1，y1), B点坐标(x2, y2),即得到重心G的轨迹方程。思维感悟：1o、用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。2o、用参数法求轨迹方程的基本步骤：建系——设标——引参——求参数方程——消参——检验3o、选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。4o、要特别注意消参前后保持范围的等价性。5o、多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。进一步将这个题目进行变式练习，得到2005年高考江西卷第22题如图，已知抛物线 ，动点P在直线 上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. 求△APB的重心G的轨迹方程.由A点坐标、B点坐标、P点坐标所满足的关系得出重心G的轨迹方程. 在高考复习中，要注意加强一题多解的教学，培养思维的广阔性、灵活性并从中探求优化的解法，提高解题能力；同时也要注意加强一题多变的教学，深化教学内容，提高教学效率，培养发散性思维能力。 例5：如图，已知⊙M：x2 + (y－2)2 =1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点，求动弦AB中点P的轨迹方程。交轨法是参数法的简单处理方法，求两动曲线交点轨迹问题常用交轨法，即直接联立两动曲线方程消参数，而不必先解出动点轨迹参数方程，再消参数，值得我们重视的是在求轨迹时应注意充分利用平面几何知识。（五）、向量法：向量法类似于直泽法，以向量为工具，将几何量的等量关系转化为向量运算。（95年全国高考试题）这是95年的一道全国高考题，是一道有难度的多动点轨迹问题，若不用向量求解，其求解过程曲折冗长，且运算复杂，现采用向量求解，不仅简化运算，而且其过程变得流畅自然。以解析几何知识为载体、以向量为工具、以考查轨迹方程曲线性质和向量有关公式及其应用为目标，是近年高考新课程卷在向量与解析几何交汇点上设置试题的显著特点，值得我们充分注意。五、总结以上就是我对轨迹问题的几点看法，不足之处敬请各位同仁指教。